미적분 예제

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$1 + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 9

$5$ 와 $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10.2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$