미적분 예제

$y = \frac{5 x - 2}{4 x + 3}$

단계 1

$f (x) = 5 x - 2$ , $g (x) = 4 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(4 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(4 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.6.2

$4 x + 3$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot (4 x + 3) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.8

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.10

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.11

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 2.12.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (4 x + 3) - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.1.1

인수가 항 $5 (4 x)$ 과(와) $- 4 (5 x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{4 \cdot 5 x + 5 \cdot 3 - 4 \cdot 5 x - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$4 \cdot 5 x$ 에서 $4 \cdot 5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$5 \cdot 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 \cdot 3 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{15 + 8}{{(4 x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.3

$15$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{23}{{(4 x + 3)}^{2}}$