미적분 예제

$y = x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.5.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 3.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 3.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 3.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$