미적분 예제

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

단계 1

${(x + 3)}^{2}$ 을 $(x + 3) (x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 3) (x + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

단계 3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

단계 3.2

$3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

단계 4

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ , $g (x) = e^{4 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 5

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 6.3.2

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

단계 6.4

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.6

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.8

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 6.9

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

단계 6.10

$2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

단계 7.4

항을 묶습니다.

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단계 7.4.1

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

단계 7.4.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

단계 7.4.3

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

단계 7.4.4

$24 x e^{4 x}$ 를 $e^{4 x} (2 x)$ 에 더합니다.

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단계 7.4.4.1

$e^{4 x}$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

단계 7.4.4.2

$24 x e^{4 x}$ 를 $2 x e^{4 x}$ 에 더합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

단계 7.4.5

$36 e^{4 x}$ 를 $6 e^{4 x}$ 에 더합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

단계 7.6

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$