미적분 예제

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (x^{2} + 1)$

단계 1

$f (x) = \frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2.4.2

$\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}]$ 가 됩니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

단계 2.6

$\frac{1}{3.3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{3.3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3.3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

단계 2.8

$\frac{1}{3.3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + \frac{d}{d x} [\frac{3.3}{x}])$

단계 2.9

$3.3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3.3}{x}$ 의 미분은 $3.3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.10

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

단계 2.11

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + 3.3 (- x^{- 2}))$

단계 2.12

$- 1$ 에 $3.3$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 x^{- 2})$

단계 3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{x}{3.3} + \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \frac{x}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{x}{3.3} x + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$2$ 와 $\frac{x}{3.3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{3.3} x + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.2

$\frac{2 x}{3.3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x \cdot x}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 2 \frac{3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.7

$2$ 와 $\frac{3.3}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{2 \cdot 3.3}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.8

$2$ 에 $3.3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.9

$\frac{6.6}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.10

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + \frac{6.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.10.2

$6.6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - 3.3 \frac{1}{x^{2}})$

단계 4.3.11

$- 3.3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} + \frac{- 3.3}{x^{2}})$

단계 4.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + 6.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - \frac{3.3}{x^{2}})$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2}}{3.3} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.3} - \frac{3.3}{x^{2}}) + 6.6$