미적분 예제

$y = {(3 x + 1)}^{x - 3}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(3 x + 1)}^{x - 3}$ 을 $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}]$

단계 1.2

$x - 3$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = (x - 3) \ln (3 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

단계 3

$f (x) = x - 3$ , $g (x) = \ln (3 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)] + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + 0) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.6

분수를 통분합니다.

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단계 5.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.6.2

$3$ 와 $\frac{1}{3 x + 1}$ 을 묶습니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 5.7

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 5.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 5.9

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + 0))$

단계 5.10

식을 간단히 합니다.

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단계 5.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \cdot 1)$

단계 5.10.2

$\ln (3 x + 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1))$