미적분 예제

$x^{4} + y^{4} = 16$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + y^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y'$

단계 3

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $4 x^{3}$ 를 뺍니다.

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$

단계 5.2

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ 의 각 항을 $4 y^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 y^{3} y' = - 4 x^{3}$ 의 각 항을 $4 y^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

단계 5.2.2.2

$y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

단계 5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{4 y^{3}}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

단계 5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$4 y^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 (y^{3})}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{4 (- x^{3})}{4 y^{3}}$

단계 5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x^{3}}{y^{3}}$

단계 5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{y^{3}}$