미적분 예제

$\sin (x + y) = x y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x + y) (1 + y')$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 3.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y' + y$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$\cos (x + y) (1 + y')$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

단계 5.1.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\cos (x + y) (1 + y') = x y' + y$

단계 5.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = x y' + y$

단계 5.1.1.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1.4.1

$\cos (x + y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = x y' + y$

단계 5.1.1.4.2

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = x y' + y$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x y'$ 를 뺍니다.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - x y' = y$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $\cos (x + y)$ 를 뺍니다.

$y' \cos (x + y) - x y' = y - \cos (x + y)$

단계 5.4

$y' \cos (x + y) - x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$y' \cos (x + y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (x + y)) - x y' = y - \cos (x + y)$

단계 5.4.2

$- x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (x + y)) + y' (- x) = y - \cos (x + y)$

단계 5.4.3

$y' (\cos (x + y)) + y' (- x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$

단계 5.5

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ 의 각 항을 $\cos (x + y) - x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (\cos (x + y) - x) = y - \cos (x + y)$ 의 각 항을 $\cos (x + y) - x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$\cos (x + y) - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (\cos (x + y) - x)}{\cos (x + y) - x} = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{y}{\cos (x + y) - x} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

단계 5.5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - x}$