미적분 예제

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{y}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

단계 2.5

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

미분합니다.

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단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $6 + \sin (x y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

단계 3.1.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

단계 3.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

단계 3.3.2

$0$ 를 $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ 에 더합니다.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

단계 3.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $x y' \cos (x y)$ 를 뺍니다.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

단계 5.4

방정식의 양변에 $e^{y} \sin (x)$ 를 더합니다.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

단계 5.5

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$y' e^{y} \cos (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

단계 5.5.2

$- x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

단계 5.5.3

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

단계 5.6

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ 의 각 항을 $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ 의 각 항을 $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.2.1

$e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

단계 5.6.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.6.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$