미적분 예제

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $13 x^{4} - 78 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$13$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $13 x^{4}$ 의 미분은 $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$13 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$52 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 78$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 78 x^{2}$ 의 미분은 $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$52 x^{3} - 78 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 78$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $52 x^{3} - 156 x$ 입니다.

$52 x^{3} - 156 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $52 x^{3} - 156 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$52 x^{3} - 156 x = 0$

단계 2.2

$52 x^{3} - 156 x$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$52 x^{3}$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

단계 2.2.2

$- 156 x$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

단계 2.2.3

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ 에서 $52 x$ 를 인수분해합니다.

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.5.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 2.6

$52 x (x^{2} - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $13 x^{4} - 78 x^{2}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$13 {(0)}^{4} - 78 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$13 \cdot 0 - 78 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2

$13$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 78 {(0)}^{2}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 78 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$- 78$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.2

$x = \sqrt{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\sqrt{3}$ 를 대입합니다.

$13 {(\sqrt{3})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

${\sqrt{3}}^{4}$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$13 \cdot 9 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.3

$13$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$117 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

단계 4.2.2.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 4.2.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

단계 4.2.2.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

단계 4.2.2.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

단계 4.2.2.1.4.5

지수값을 계산합니다.

$117 - 78 \cdot 3$

단계 4.2.2.1.5

$- 78$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$117 - 234$

단계 4.2.2.2

$117$ 에서 $234$ 을 뺍니다.

$- 117$

단계 4.3

$x = - \sqrt{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $- \sqrt{3}$ 를 대입합니다.

$13 {(- \sqrt{3})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$13 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$13 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$13 {\sqrt{3}}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4

${\sqrt{3}}^{4}$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.4.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$13 \cdot 9 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.6

$13$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$117 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

단계 4.3.2.1.7

$- \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$117 - 78 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

단계 4.3.2.1.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$117 - 78 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

단계 4.3.2.1.9

${\sqrt{3}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$117 - 78 {\sqrt{3}}^{2}$

단계 4.3.2.1.10

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 4.3.2.1.10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

단계 4.3.2.1.10.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.10.4.1

공약수로 약분합니다.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

단계 4.3.2.1.10.4.2

수식을 다시 씁니다.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

단계 4.3.2.1.10.5

지수값을 계산합니다.

$117 - 78 \cdot 3$

단계 4.3.2.1.11

$- 78$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$117 - 234$

단계 4.3.2.2

$117$ 에서 $234$ 을 뺍니다.

$- 117$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (\sqrt{3}, - 117), (- \sqrt{3}, - 117)$

단계 5