미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 72 x$ 의 미분은 $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} x$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$- 72$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} + 6 x - 72$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 72$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$6 x^{2} + 6 x - 72$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x - 72 = 0$

단계 2.2.1.2

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 72 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 72$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 12 = 0$

단계 2.2.1.4

$6 (x^{2}) + 6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12 = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x - 12) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 3, 4$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.6

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 4$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $3, - 4$ 입니다.

$3, - 4$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 72$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 5) = 6 \cdot 25 + 6 (- 5) - 72$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = 150 + 6 (- 5) - 72$

단계 5.2.1.3

$6$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f' (- 5) = 150 - 30 - 72$

단계 5.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$150$ 에서 $30$ 을 뺍니다.

$f' (- 5) = 120 - 72$

단계 5.2.2.2

$120$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f' (- 5) = 48$

단계 5.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 5.3

$x = - 5$ 에서의 도함수는 $48$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 4, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 6.2.1.1.1

$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.6.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.6.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.7

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.8.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 72$

단계 6.2.1.8.3

공약수로 약분합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 72$

단계 6.2.1.8.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 72$

단계 6.2.1.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 72$

단계 6.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 72$

단계 6.2.2.2

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 72$

단계 6.2.2.3

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 72$

단계 6.2.2.4

$- 72$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1}$

단계 6.2.2.5

$\frac{- 72}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.2.2.6

$\frac{- 72}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 72 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 72 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4.2

$- 72$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 144}{2}$

단계 6.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 144}{2}$

단계 6.2.5.2

$- 3$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 147}{2}$

단계 6.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{147}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $- \frac{147}{2}$ 입니다.

$- \frac{147}{2}$

단계 6.3

$x = - \frac{1}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{147}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 4, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 4, 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 72$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 72$

단계 7.2.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 72$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 96 + 24 - 72$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$96$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f' (4) = 120 - 72$

단계 7.2.2.2

$120$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 48$

단계 7.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 7.3

$x = 4$ 에서의 도함수는 $48$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 4), (3, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 4, 3)$

단계 9