미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

단계 1.1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

단계 1.1.1.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

단계 1.1.2.3.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x^{2} + 12 x$ 입니다.

$6 x^{2} + 12 x$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x^{2} + 12 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x^{2} + 12 x = 0$

단계 1.2.2

$6 x^{2} + 12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$6 x^{2}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x) + 12 x = 0$

단계 1.2.2.2

$12 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

단계 1.2.2.3

$6 x (x) + 6 x (2)$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x + 2) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 1.2.6

$6 x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4)$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 + 12 (- 4)$

단계 4.2.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 96 + 12 (- 4)$

단계 4.2.1.3

$12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 96 - 48$

단계 4.2.2

$96$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = 48$

단계 4.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

단계 5.2.1.3

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 6 - 12$

단계 5.2.2

$6$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1) = - 6$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$- 6$

단계 5.3

$f'' (- 1)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 2, 0)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 2, 0)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(0, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = 6 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = 6 \cdot 4 + 12 (2)$

단계 6.2.1.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = 24 + 12 (2)$

단계 6.2.1.3

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = 24 + 24$

단계 6.2.2

$24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f'' (2) = 48$

단계 6.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 6.3

$f'' (2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(0, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 2, 0)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8