미적분 예제

$\int_{1}^{6} x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

단계 1

먼저 $u = 5 x^{2} + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 10 x d x$ 이므로 $\frac{1}{10} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 5 x^{2} + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$5 x^{2} + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$10 x + 0$

단계 1.1.4.2

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 x$

단계 1.2

$u = 5 x^{2} + 4$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot 1^{2} + 4$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 5 \cdot 1 + 4$

단계 1.3.1.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 5 + 4$

단계 1.3.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 1.4

$u = 5 x^{2} + 4$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 6^{2} + 4$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 36 + 4$

단계 1.5.1.2

$5$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 180 + 4$

단계 1.5.2

$180$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 184$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 184$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{9}^{184} \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\int_{9}^{184} \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

단계 3

$\frac{1}{10}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{10} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{184}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$184$ , $9$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{10} ((\frac{2}{3} \cdot 184^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $184^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

단계 6.2.5

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

단계 6.2.6

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

단계 6.2.7

$- 27$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

단계 6.2.8

$- 27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

단계 6.2.9

$- 54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.9.1

$- 54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

단계 6.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.9.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

단계 6.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

단계 6.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

단계 6.2.9.2.4

$- 18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

단계 7.2

조합합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

단계 7.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} \cdot - 18$

단계 7.3.2

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

단계 7.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

단계 7.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} \cdot - 9$

단계 7.4

$\frac{1}{5}$ 와 $- 9$ 을 묶습니다.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.2.1

$10 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 \cdot (184^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.3

$184^{\frac{3}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{- 9}{5}$

단계 7.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

소수 형태:

$164.59316225 \dots$

단계 9