미적분 예제

$\int_{1}^{8} \frac{\ln (x)}{x} d x$

단계 1

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (1)$

단계 1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\ln (8)} u d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\ln (8)}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\ln (8)$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \ln^{2} (8)) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln^{2} (8)$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 3.2.3

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

단계 3.2.4

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2} + 0$

단계 3.2.5

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln^{2} (8)}{2}$

소수 형태:

$2.16203856 \dots$