미적분 예제

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

단계 4.2

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

단계 4.2.2.5

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

단계 6.2

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.2

$\ln (3)$ 의 왼쪽으로 $27$ 이동하기

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$27 \ln (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3.2.4

$9 \ln (3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.5

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.6

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.7

$\frac{1}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.8

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.8.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.8.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

단계 6.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

단계 6.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

단계 6.3.12

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

단계 6.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

단계 6.3.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.14.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

단계 6.3.14.2

$27$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

단계 6.3.15

$\frac{26}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

단계 6.3.16

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

단계 7.1.2

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

단계 7.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

단계 7.2

$9 \ln (3)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

소수 형태:

$6.99862170 \dots$