미적분 예제

$\int_{0}^{6} \frac{x}{\sqrt{9 + 2 x^{2}}} d x$

단계 1

먼저 $u = 9 + 2 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 9 + 2 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$9 + 2 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 + 2 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 + 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 4 x$

단계 1.1.4

$0$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$4 x$

단계 1.2

$u = 9 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 9 + 2 \cdot 0$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 9 + 0$

단계 1.3.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 1.4

$u = 9 + 2 x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 6^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 36$

단계 1.5.1.2

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 9 + 72$

단계 1.5.2

$9$ 를 $72$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 81$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 81$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

단계 2.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int_{9}^{81} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{81}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$81$ , $9$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 9 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.5

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.6

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 6.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 6.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3^{1})$

단계 6.2.9

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (18 - 2 \cdot 3)$

단계 6.2.10

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (18 - 6)$

단계 6.2.11

$18$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot 12$

단계 6.2.12

$\frac{1}{4}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{4}$

단계 6.2.13

$12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.13.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 3}{4}$

단계 6.2.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.13.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

단계 6.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

단계 6.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{1}$

단계 6.2.13.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3$

단계 7