미적분 예제

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sin (3 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\cos (3 x)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{\cos (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

단계 3

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{3} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

단계 4.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

단계 4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

단계 4.5

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = \cos (3 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

단계 8

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 8.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 8.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

단계 9

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

단계 11.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

단계 12

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ 을 $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

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단계 13.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

단계 13.2.2

$\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

단계 13.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

단계 13.2.4

$3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.6

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.6.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 13.2.6.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.2

$2$ 와 $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.3

$2$ 와 $\frac{\cos (3 x)}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2} \cos (3 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.5

$- x^{2} \cos (3 x)$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 15.1.8.1

$\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.8.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.10

인수분해된 형태로 $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ 를 다시 씁니다.

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단계 15.1.10.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.1.10.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

단계 15.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

단계 15.3

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 15.3.1

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

단계 15.3.2

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

단계 15.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$