미적분 예제

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

단계 1

$\tan^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

단계 3

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 3.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

단계 4

$u^{2} (- 1 + u^{2})$ 을 곱합니다.

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 5.2

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 5.3

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 5.3.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$