미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{4}} d x$

단계 1

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{2} + 2 x - 3) {(x^{4})}^{- 1} d x$

단계 2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{4 \cdot - 1} d x$

단계 2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4} d x$

단계 3

$(x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{2} + 2 x) x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} x^{- 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 - 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.4

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int x^{- 2} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{- 2} + 2 (x^{1} x^{- 4}) - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{- 2} + 2 x^{1 - 4} - 3 x^{- 4} d x$

단계 3.7

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int x^{- 2} + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{- 2} d x + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x^{- 1} + C + 2 \int x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 8.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

단계 9

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 \int x^{- 4} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

간단히 합니다.

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단계 11.1.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

단계 11.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

단계 11.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

단계 11.3.2

$3$ 와 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

단계 11.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

단계 11.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C$