미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \sec (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec (t) \tan (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1.1

$2 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ 을 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2

$2 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ 에서 $2 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

단계 3

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

단계 4

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

단계 6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

단계 7

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

단계 8

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

단계 11

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

단계 13

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.1.1

평면에 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $arcsec (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ 는 $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ 입니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

단계 14.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

단계 14.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{x}{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

단계 14.1.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

단계 14.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

단계 14.1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

단계 14.1.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

단계 14.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

단계 14.1.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

단계 14.1.10

$\frac{x + 2}{2}$ 에 $\frac{x - 2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

단계 14.1.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

단계 14.1.12

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 14.1.12.1

$(x + 2) (x - 2)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

단계 14.1.12.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

단계 14.1.12.3

분수 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

단계 14.1.13

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

단계 14.1.14

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 을 묶습니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- arcsec (\frac{x}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

단계 14.3

$- arcsec (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

단계 14.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 14.5.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

단계 14.5.2

수식을 다시 씁니다.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

단계 14.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$