미적분 예제

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

단계 1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

단계 2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

단계 3

인수에 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ 을(를) 곱합니다.

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

조합합니다.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 4.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

단계 5.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sec (\frac{x}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6.2

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6.4

$\sec (\frac{x}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

단계 6.5

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.7

$\cos (\frac{x}{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.7.1

$- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ 에서 $\cos (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.7.2

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 $\cos (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.7.3

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.8

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

단계 6.9

$\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ 와 $\sin (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 6.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 7

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 을 $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ 로 변환합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ 을 $2 \tan (\frac{x}{2})$ 로 변환합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

단계 9

$\sec^{2} (x)$ 을(를) $1 + \tan^{2} (x)$ (으)로 변환합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

단계 10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

단계 11

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 11.1

항을 다시 배열합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 11.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 11.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

단계 11.4

다항식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 11.5

$a = 1$ 이고 $b = \tan (\frac{x}{2})$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

단계 12

먼저 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 12.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 12.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 12.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 12.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 12.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

단계 13.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

단계 13.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

단계 13.4

$\sec^{2} (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

단계 14

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

단계 15

먼저 $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 15.1.1

$1 - \tan (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

단계 15.1.2

미분합니다.

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단계 15.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

단계 15.1.2.2

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

단계 15.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 15.1.3.1

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- \tan (u_{1})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

단계 15.1.3.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

단계 15.1.4

$0$ 에서 $\sec^{2} (u_{1})$ 을 뺍니다.

$- \sec^{2} (u_{1})$

단계 15.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 17

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

단계 18

식을 간단히 합니다.

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단계 18.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 18.2

${u_{2}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

단계 18.3

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 18.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

단계 18.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

단계 19

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- 2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{2}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ 을 $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

단계 20.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

단계 20.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{u_{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{u_{2}} + C$

단계 21

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 21.1

$u_{2}$ 를 모두 $1 - \tan (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

단계 21.2

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

단계 22

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$