미적분 예제

$y = \tan (x)$

단계 1

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

단계 2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

단계 2.3

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

단계 2.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

단계 2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 입니다.

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan (x))$

단계 3.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

단계 3.4

지수를 더하여 $\sec^{2} (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

단계 3.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

단계 3.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

단계 3.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

단계 3.5.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

단계 3.6

$\tan (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot (\tan (x) \sec (x)) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 3.7

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 3.8

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.9

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

단계 3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

단계 3.12

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

단계 3.13

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

단계 3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

단계 3.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.16

간단히 합니다.

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단계 3.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.16.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

단계 3.16.3

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.2

$f (x) = \sec^{2} (x)$ , $g (x) = \tan^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.6

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.7

지수를 더하여 $\sec^{2} (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.7.1

$\sec^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.7.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.8

$\sec^{4} (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f^{4} (x) = 4 (2 \cdot (\sec^{4} (x) \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.9

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.10

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.13

지수를 더하여 $\tan^{2} (x)$ 에 $\tan (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.13.1

$\tan (x)$ 를 옮깁니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.13.2

$\tan (x)$ 에 $\tan^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.13.2.1

$\tan (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.13.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.13.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.2.14

$\tan^{3} (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sec^{4} (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{4} (x))$

단계 4.3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 4.3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 4.3.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 4.3.3

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 4.3.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

단계 4.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

단계 4.3.6

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

단계 4.3.7

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.4.2.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

단계 4.4.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

단계 4.4.2.3

$8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 를 $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$