미적분 예제

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{3}}$ 을(를) $x^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2.3

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2.3.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

단계 4

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

단계 5

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 5.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 5.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

단계 7

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

단계 8.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

단계 8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

단계 8.3

$\int e^{u} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

단계 10.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$