미적분 예제

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

단계 1

먼저 $u = t^{6} + 5 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ 이므로 $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = t^{6} + 5 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$t^{6} + 5 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $t^{6} + 5 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

단계 1.1.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [5 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 t^{5} + 5$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 4

$u$ 를 모두 $t^{6} + 5 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$