미적분 예제

$y \sqrt{x + 1} = 4$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

단계 3

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = y$ , $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11

식을 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.11.2

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.12

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

단계 3.13

항을 다시 정렬합니다.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.2.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ 와 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.2

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.3.2.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.2.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.3

$2 {(x + 1)}^{1} y'$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.1.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 6.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

단계 6.3

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.3.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$2 x y' + 2 y' = - y$

단계 6.3.2

$2 x y' + 2 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.3.2.1

$2 x y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' x + 2 y' = - y$

단계 6.3.2.2

$2 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

단계 6.3.2.3

$2 y' x + 2 y' \cdot 1$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (x + 1) = - y$

단계 6.3.3

$2 y' (x + 1) = - y$ 의 각 항을 $2 (x + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.3.1

$2 y' (x + 1) = - y$ 의 각 항을 $2 (x + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

단계 6.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

단계 6.3.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

단계 6.3.3.2.2

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

단계 6.3.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

단계 6.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

단계 7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$