미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 + x)}^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $8$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(2 + 0)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.2

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 ${(2 + x)}^{3} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2

합의 법칙에 의해 $2 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$3 {(2 + x)}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{1}$

단계 1.4

$3 {(2 + x)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 3 {(2 + x)}^{2}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}$

단계 2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 + x)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

단계 2.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$3 {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$3 {(2 + 0)}^{2}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \cdot 2^{2}$

단계 4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 \cdot 4$

단계 4.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12$