미적분 예제

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y^{2} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

단계 3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

단계 5.2

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ 의 각 항을 $2 x^{2} y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ 의 각 항을 $2 x^{2} y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.1.1

$- 2 y^{2} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1.2.1

$2 x^{2} y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.2

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

$- y^{2} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.2.2.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.3.1

$- y x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

단계 5.2.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$