미적분 예제

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{x^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 2.10

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x^{3}$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$