미적분 예제

$\sin^{-1} (2 x + 1)$

단계 1

$f (x) = \sin^{-1} (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.2

$\sin^{-1} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 + 0)$

단계 2.6

분수를 통분합니다.

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단계 2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \cdot 2$

단계 2.6.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$