미적분 예제

$y = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

단계 2

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

단계 3

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

단계 4

$f (x) = 1 + e^{x}$ , $g (x) = 1 - e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 5.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해 $1 - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.5

곱합니다.

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단계 7.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 7.5.2

$1 + e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 8

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 9

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ 에 $\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}$ 에서 $1 - e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 11.3.1.1

$- e^{x} e^{x}$ 를 $e^{x} e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x} + 0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.3.1.2

$1 e^{x} + 1 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.3.2.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

단계 11.3.3

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{2 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$