미적분 예제

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

단계 3.6

${(x - 2)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ 에서 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ 에서 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

단계 4.1.2

$2 {(x - 2)}^{4} x$ 에서 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

단계 4.1.3

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ 에서 $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

단계 4.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

단계 4.2.3

$2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$