미적분 예제

$F (x) = \sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x} - 5 \sqrt[3]{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 3.9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 3.10

$- 5$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$