미적분 예제

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x (6 x - 5 x^{2})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x - 5 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 가 됩니다.

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

단계 3.9

$6 x - 5 x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.7

$- 10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.8

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.9

$18 x$ 를 $18 x$ 에 더합니다.

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

단계 4.3.10

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

단계 4.3.11

$- 30 x^{2}$ 에서 $15 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 45 x^{2} + 36 x$