미적분 예제

${(4 x - x^{2})}^{100}$

단계 1

$f (x) = x^{100}$ , $g (x) = 4 x - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{100}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

단계 1.2

$n = 100$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 u^{99} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - (2 x))$

단계 2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - 2 x)$