미적분 예제

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ 을(를) ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = \frac{8}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{8}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{8}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

단계 8

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8}{x}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 9.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 10

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

단계 11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.2

$\frac{x}{8}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3

항을 묶습니다.

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단계 12.3.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

단계 12.3.5

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ 에 $\frac{8}{3 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

단계 12.3.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

단계 12.3.7

$x^{\frac{2}{3}}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

단계 12.3.8

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

단계 12.3.9

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.9.1

$x^{- \frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

단계 12.3.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

단계 12.3.9.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

단계 12.3.9.4

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

단계 12.3.9.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

단계 12.3.9.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.3.9.6.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

단계 12.3.9.6.2

$- 2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 12.3.10

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

단계 12.3.11

공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.11.1

$12 x^{\frac{4}{3}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

단계 12.3.11.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

단계 12.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$