미적분 예제

$t \sqrt{4 - t}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 - t}$ 을(를) ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 4 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - t$ 로 바꿉니다.

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $4 - t$ 로 바꿉니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $4 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 10

$4$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 12

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 14.2

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 14.3

식을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$t$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 14.3.2

$- 1 t$ 을 $- t$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 14.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 16

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

지수를 더하여 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 20.1

${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

$4 - t$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23

간단히 합니다.

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단계 23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 23.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 23.2.1.1

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.2.2

$- t$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.3

$- 3 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.4

$8$ 을 $- 1 (- 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.5

$- (3 t) - 1 (- 8)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.6

$- (3 t - 8)$ 을 $- 1 (3 t - 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$