미적분 예제

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

단계 1.2

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

단계 1.2.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

단계 1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

단계 1.2.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

단계 1.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

단계 1.2.2.3

$x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

단계 1.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

단계 1.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

단계 1.2.2.5.2

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

단계 1.2.3

방정식의 양변에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.1

조합합니다.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

단계 1.2.4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

단계 1.2.4.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

단계 1.2.4.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} = 4$

단계 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 1.2.6

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 1.2.6.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 1.2.7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 1.2.7.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.7.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 1.3

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = - {(2)}^{2} + 6$

단계 1.3.2

$y = - {(2)}^{2} + 6$ 에서 $x$ 에 $2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 2^{2} + 6$

단계 1.3.2.2

$- 2^{2} + 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = - 4 + 6$

단계 1.3.2.2.2

$- 4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = 2$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x^{2}}{2}$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

단계 4

$- 2$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

단계 4.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

단계 4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

단계 4.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

$- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1.1

$- x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

단계 4.4.1.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

단계 4.4.1.1.3

$x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

단계 4.4.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

단계 4.4.1.3

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

단계 4.4.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

단계 4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

단계 4.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

단계 4.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

단계 4.7

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

단계 4.8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

단계 4.9

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

단계 4.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

단계 4.10.2

$2$ , $- 2$ 일 때, $6 x$ 값을 계산합니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.4

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.5

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.7

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.8

$\frac{16}{3}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.9

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.11

$48$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.3.11.1

$48$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.10.3.11.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.11.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.12

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.13

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

단계 4.10.3.14

$- 6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 8 + 12 + 12$

단계 4.10.3.15

$12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$- 8 + 24$

단계 4.10.3.16

$- 8$ 를 $24$ 에 더합니다.

$16$

단계 5