미적분 예제

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{4 x - x^{2}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$x$ 가 $4$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 - lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.1.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 4} x}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.2.3.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 4 x - x^{2}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 가 $4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 4 x - lim_{x \to 4} x^{2}}$

단계 1.1.3.2

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{4 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} x^{2}}$

단계 1.1.3.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{4 lim_{x \to 4} x - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $4$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

$x$ 에 $4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{4 \cdot 4 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.4.2

$x$ 에 $4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{4 \cdot 4 - 4^{2}}$

단계 1.1.3.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{16 - 4^{2}}$

단계 1.1.3.5.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

단계 1.1.3.5.1.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{16 - 16}$

단계 1.1.3.5.2

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.5.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.6

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{4 x - x^{2}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $2 - \sqrt{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.4.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.5

$0$ 에서 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $4 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

단계 1.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.7.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

단계 1.3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

단계 1.3.7.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

단계 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 - (2 x)}$

단계 1.3.8.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 - 2 x}$

단계 1.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 4} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 4}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 4}$

단계 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 4}$

단계 1.6

$\frac{1}{- 2 x + 4}$ 에 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 4} - \frac{1}{(- 2 x + 4) (2 \sqrt{x})}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to 4} \frac{1}{(- 2 x + 4) (2 \sqrt{x})}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{(- x + 2) \cdot 2 \sqrt{x}}$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{(- x + 2) \sqrt{x}}$

단계 2.4

$x$ 가 $4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} (- x + 2) \sqrt{x}}$

단계 2.5

$x$ 가 $4$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{lim_{x \to 4} (- x + 2) \sqrt{x}}$

단계 2.6

$x$ 가 $4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{lim_{x \to 4} - x + 2 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

단계 2.7

$x$ 가 $4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(- lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 2) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

단계 2.8

$x$ 가 $4$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(- lim_{x \to 4} x + 2) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x}}$

단계 2.9

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(- lim_{x \to 4} x + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $4$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(- 4 + 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x}}$

단계 3.2

$x$ 에 $4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{(- 4 + 2) \cdot \sqrt{4}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{1}{(- 4 + 2) \cdot \sqrt{4}}$

단계 4.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(- 4 + 2) \cdot \sqrt{4}}$

단계 4.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{4}}$

단계 4.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 2 \sqrt{2^{2}}}$

단계 4.2.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot 2}$

단계 4.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 4}$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$

단계 4.5

$- \frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4}$

단계 4.5.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

단계 4.5.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

단계 4.5.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{16}$

소수 형태:

$0.0625$