미적분 예제

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(i - 1)}^{2}$ 을 $(i - 1) (i - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$(i - 1) (i - 1)$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(i - 1) (i - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$i$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

단계 1.3.1.2

$i$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

단계 1.3.1.3

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

단계 1.3.1.4

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

단계 1.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$i^{2} - i - i + 1$

단계 1.3.2

$- i$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$i^{2} - 2 i + 1$

단계 1.4

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

단계 2

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

단계 3

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$20$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

단계 3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

단계 3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

단계 3.3.2.2

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

단계 3.3.2.3

$10$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

단계 3.3.2.4

$40$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

단계 3.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$210$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$\frac{8610}{3}$

단계 3.3.3.2

$8610$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$2870$

단계 4

$2 \sum_{i = 1}^{20} i$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 4.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

단계 4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$20$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

단계 4.3.1.2

$20$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{420}{2})$

단계 4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 420$

단계 4.3.3

$- 1$ 에 $420$ 을 곱합니다.

$- 420$

단계 5

$\sum_{i = 1}^{20} 1$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 5.2

공식에 값을 대입합니다.

$(1) (20)$

단계 5.3

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20$

단계 6

합계 결과를 더합니다.

$2870 - 420 + 20$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2870$ 에서 $420$ 을 뺍니다.

$2450 + 20$

단계 7.2

$2450$ 를 $20$ 에 더합니다.

$2470$