미적분 예제

$lim_{x \to 0} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}}$ 을 $e^{\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})}$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 - 2 x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 - 2 x)}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (1 - 2 x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{\ln (1 - 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.3.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7

$- 2$ 와 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2}{1 - 2 x}}{1}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2}{1 - 2 x} \cdot 1}$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2}{1 - 2 x}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - 2 x}}$

단계 4.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - 2 x}}$

단계 4.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}$

단계 4.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 1 - 2 x}}$

단계 4.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}}$

단계 4.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{- 2 \frac{1}{1 - lim_{x \to 0} 2 x}}$

단계 4.7

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{1}{1 - 2 lim_{x \to 0} x}}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{1}{1 - 2 \cdot 0}}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{1}{1 + 0}}$

단계 6.1.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

단계 6.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 2 \cdot 1}$

단계 6.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2}$

단계 6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{2}}$