미적분 예제

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(e^{t} + 1)}^{2}$ 을 $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

단계 1.3.1.1.2

$t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

단계 1.3.1.2

$e^{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

단계 1.3.1.3

$e^{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

단계 1.3.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

단계 1.3.2

$e^{t}$ 를 $e^{t}$ 에 더합니다.

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

단계 3

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 3.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

단계 4

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

단계 7

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

단계 8

$e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $e^{t}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$