미적분 예제

$\int x e^{\frac{x}{2}} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = e^{\frac{x}{2}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

단계 3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

단계 4

먼저 $u = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

단계 5.3

$e^{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

단계 6

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

단계 7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

단계 9

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ 을 $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$