미적분 예제

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

단계 1

$u = \ln (w)$ 이고 $d v = w^{2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $w^{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

단계 2.2

$\ln (w)$ 와 $\frac{w^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $w$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$w^{3}$ 와 $\frac{1}{w}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

단계 4.2

$w^{3}$ 및 $w$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$w^{3}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

단계 4.2.2.2

$w^{1}$ 에서 $w$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

단계 4.2.2.5

$w^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $w^{2}$ 를 $w$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} w^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

단계 6.2

$5$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{3} w^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.2

$\ln (5)$ 의 왼쪽으로 $125$ 이동하기

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.4

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.5

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.6

$\frac{1}{3}$ 와 $125$ 을 묶습니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

단계 6.3.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

단계 6.3.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

단계 6.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

단계 6.3.10

$125$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

단계 6.3.11

$\frac{124}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

단계 6.3.12

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

단계 7.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

단계 7.3

$125 \ln (5)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

단계 7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

소수 형태:

$53.28213524 \dots$