미적분 예제

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

단계 1

먼저 $u = y + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = y + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$y + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

단계 1.1.4

$9$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = y + 9$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 9$

단계 1.3

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 9$

단계 1.4

$u = y + 9$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 + 9$

단계 1.5

$7$ 를 $9$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 16$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$16$ , $9$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.6

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.7

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

단계 4.2.10

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

단계 4.2.11

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

단계 4.2.12

$- 27$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

단계 4.2.13

$- 27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

단계 4.2.14

$- 54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.14.1

$- 54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

단계 4.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.14.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

단계 4.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

단계 4.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

단계 4.2.14.2.4

$- 18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{128}{3} - 18$

단계 4.2.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.2.16

$- 18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

단계 4.2.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

단계 4.2.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.18.1

$- 18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{128 - 54}{3}$

단계 4.2.18.2

$128$ 에서 $54$ 을 뺍니다.

$\frac{74}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{74}{3}$

소수 형태:

$24.\overline{6}$

대분수 형식:

$24 \frac{2}{3}$

단계 6