미적분 예제

$\int \ln (4 x - 3) d x$

단계 1

$u = \ln (4 x - 3)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (4 x - 3) x - \int x \frac{4}{4 x - 3} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 와 $\frac{4}{4 x - 3}$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x - 3} d x$

단계 2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{4 x}{4 x - 3} d x$

단계 3

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (4 x - 3) x - (4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x)$

단계 4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x$

단계 5

$x$ 을 $4 x - 3$ 로 나눕니다.

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단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$4 x$

$3$

$x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{3}{4}$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - \frac{3}{4}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$
					+	$\frac{3}{4}$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{1}{4} + \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

단계 8

$\frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 x - 3} d x)$

단계 9

먼저 $u = 4 x - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1

$u = 4 x - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$4 x - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

단계 9.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 9.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 9.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 9.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 9.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 9.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1.4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 + 0$

단계 9.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

단계 10.2

$u$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 \cdot u} d u)$

단계 10.3

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

단계 11

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 12.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} (\ln (| u |) + C))$

단계 14

간단히 합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| u |)) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $4 x - 3$ 로 바꿉니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

단계 16.1.2

$\frac{3}{16}$ 와 $\ln (| 4 x - 3 |)$ 을 묶습니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

단계 16.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

단계 16.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 16.3.1

$\frac{x}{4}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

단계 16.3.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

단계 16.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

단계 16.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x - 3) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

단계 16.5.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

단계 16.5.3

공약수로 약분합니다.

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

단계 16.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\ln (4 x - 3) x - \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

단계 16.6

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\ln (4 x - 3) x - \frac{4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (4 x - 3) x - \frac{1}{4} (4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)) + C$