미적분 예제

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{8}$ 와 ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

단계 3

$\frac{1}{8}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

단계 4

먼저 $u = 6 x + 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = 6 x + 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$6 x + 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 4.1.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.4.1

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$6 + 0$

단계 4.1.4.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

단계 5

$u^{\frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

단계 6

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

단계 7.2

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ 을 $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{1}{8}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.2

$\frac{x}{8}$ 와 ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.3

$\frac{3}{7}$ 에 $\frac{1}{48}$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.4

$7$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.5

$3$ 및 $336$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.5.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.5.2.1

$336$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

단계 9.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

단계 9.2.7

$- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

단계 9.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

단계 9.2.9

$u^{\frac{7}{3}}$ 와 $\frac{1}{112}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

단계 9.2.10

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

단계 9.2.11

$- 8$ 와 $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ 을 묶습니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

단계 9.2.12

$- 8 u^{\frac{7}{3}}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

단계 9.2.13

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.13.1

$112$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

단계 9.2.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

단계 9.2.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.15

공통 분모를 가지는 분수로 $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{14}{14}$ 을 곱합니다.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.16

$x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ 와 $\frac{14}{14}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.18

$x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

단계 9.2.19

$\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

단계 9.2.20

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

단계 9.2.21

$14$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $6 x + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$