미적분 예제

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 5.2

${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 5.2.3

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

${(x^{2} + 1)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 16

$4$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 17.2.1

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.3

$- 12 x^{2} + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 17.3.1

$- 12 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.3.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.3.3

$4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.4

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.6

$- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.7

$- (3 x^{2} - 1)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 17.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$