미적분 예제

$\frac{1}{x}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

단계 2.1.2

최종 답은 $\frac{1}{x + h}$ 입니다.

$\frac{1}{x + h}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x + h}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h) x$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{1}{x + h}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{x + h}{x + h}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.3.3

$(x + h) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5

인수분해된 형태로 $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.5.3

$0$ 에서 $h$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$- \frac{h}{x (x + h)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

$- h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

단계 5.2

$\frac{1}{x}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

단계 5.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 5.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

단계 5.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

단계 5.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

단계 6

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

단계 7.2

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x \cdot x}$

단계 7.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{x^{1} x}$

단계 7.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

단계 7.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

단계 7.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$

단계 8