미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

단계 1.4.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

단계 2.4.2

$12 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x + 6$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

단계 4.1.4.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 입니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

단계 5.2.1.2

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

단계 5.2.1.3

$- 12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 5.2.1.4

$6 (x^{2}) + 6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

단계 5.2.1.5

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 5.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 5.6

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1, - 2$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 (1) + 6$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + 6$

단계 9.2

$12$ 를 $6$ 에 더합니다.

$18$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

단계 11.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

단계 11.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

단계 11.2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1$

단계 11.2.1.5

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 2 + 3 - 12$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (1) = 5 - 12$

단계 11.2.2.2

$5$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 7$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 7$ 입니다.

$y = - 7$

단계 12

$x = - 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 (- 2) + 6$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 24 + 6$

단계 13.2

$- 24$ 를 $6$ 에 더합니다.

$- 18$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 2$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 2$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 2$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

단계 15.2.1.2

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

단계 15.2.1.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2$

단계 15.2.1.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2$

단계 15.2.1.5

$- 12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24$

단계 15.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 16$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 4 + 24$

단계 15.2.2.2

$- 4$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 20$

단계 15.2.3

최종 답은 $20$ 입니다.

$y = 20$

단계 16

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 에 대한 극값입니다.

$(1, - 7)$ 은 극솟값임

$(- 2, 20)$ 은 극댓값임

단계 17