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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
미분합니다.
단계 1.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2
의 값을 구합니다.
단계 1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.2.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 1.3
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 1.4
간단히 합니다.
단계 1.4.1
항을 묶습니다.
단계 1.4.1.1
와 을 묶습니다.
단계 1.4.1.2
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 1.4.2
항을 다시 정렬합니다.
단계 2
단계 2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
단계 2.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.2.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 2.2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 2.2.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.5
의 지수를 곱합니다.
단계 2.2.5.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 2.2.5.2
에 을 곱합니다.
단계 2.2.6
에 을 곱합니다.
단계 2.2.7
를 승 합니다.
단계 2.2.8
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.2.9
에서 을 뺍니다.
단계 2.2.10
에 을 곱합니다.
단계 2.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.4
간단히 합니다.
단계 2.4.1
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 2.4.2
항을 묶습니다.
단계 2.4.2.1
와 을 묶습니다.
단계 2.4.2.2
를 에 더합니다.
단계 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 4
단계 4.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 4.1.1
미분합니다.
단계 4.1.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2
의 값을 구합니다.
단계 4.1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.2.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 4.1.2.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 4.1.3
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 4.1.4
간단히 합니다.
단계 4.1.4.1
항을 묶습니다.
단계 4.1.4.1.1
와 을 묶습니다.
단계 4.1.4.1.2
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 4.1.4.2
항을 다시 정렬합니다.
단계 4.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 5.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 5.3
방정식 항의 최소공분모를 구합니다.
단계 5.3.1
여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.
단계 5.3.2
1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.
단계 5.4
의 각 항에 을 곱하고 분수를 소거합니다.
단계 5.4.1
의 각 항에 을 곱합니다.
단계 5.4.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 5.4.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 5.4.2.1.1
의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.
단계 5.4.2.1.2
공약수로 약분합니다.
단계 5.4.2.1.3
수식을 다시 씁니다.
단계 5.5
식을 풉니다.
단계 5.5.1
로 방정식을 다시 씁니다.
단계 5.5.2
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 5.5.2.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 5.5.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 5.5.2.2.1
두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.
단계 5.5.2.2.2
을 로 나눕니다.
단계 5.5.2.3
우변을 간단히 합니다.
단계 5.5.2.3.1
을 로 나눕니다.
단계 5.5.3
좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.
단계 5.5.4
을 간단히 합니다.
단계 5.5.4.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.5.4.2
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
단계 5.5.5
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 5.5.5.1
먼저, 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.
단계 5.5.5.2
그 다음 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.
단계 5.5.5.3
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 6
단계 6.1
식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 의 분모를 와 같게 설정해야 합니다.
단계 6.2
에 대해 풉니다.
단계 6.2.1
좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.
단계 6.2.2
을 간단히 합니다.
단계 6.2.2.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 6.2.2.2
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
단계 6.2.2.3
플러스 마이너스 은 입니다.
단계 7
계산할 임계점.
단계 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 9
단계 9.1
를 승 합니다.
단계 9.2
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 9.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 9.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 9.2.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 9.2.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 9.2.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 10
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 11
단계 11.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 11.2
결과를 간단히 합니다.
단계 11.2.1
을 로 나눕니다.
단계 11.2.2
를 에 더합니다.
단계 11.2.3
최종 답은 입니다.
단계 12
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 13
단계 13.1
를 승 합니다.
단계 13.2
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 13.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 13.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 13.2.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 13.2.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 13.2.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 13.3
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 14
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
단계 15
단계 15.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 15.2
결과를 간단히 합니다.
단계 15.2.1
을 로 나눕니다.
단계 15.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 15.2.3
최종 답은 입니다.
단계 16
에 대한 극값입니다.
은 극솟값임
은 극댓값임
단계 17